علوم أساسية

علم المتجهات

علم المتجهات يعتبر مهم جدا و هو الأساس لععد من العلوم في الهندسة و الفيزياء

فدراسة حركة الموائع تتطلب فهما للمتجهات و دراسة حركة أي مركبة طارة تتطلب فهم المتجهات أيضا

مثلا إذا كان لدينا صاروخ يتحرك في اتجاه معين فإننا نصف موقع هذا الصاروخ باستخدام متجه

أيضا نصف سرعته باستخدام متجه و نقوم بوصف الحركة الدورانية التي يقوم بها في صورة متحه أيضا

أيضا القوى و العزوم المؤثرة على الصاروخ توضع في صورة متجه

هذا لأن الصاروخ يتحرك في فضاء ثلاثي الأبعاد و له القدرة على الدوران حول أي محور من محاوره الثلاثة

لنبدأ أولا بتعريف القيمة القياسية  scalar

هو متغير له قيمة فقط دون اتجاه مثلا كالكثافة و الضغط

المتجه vector من ناحية أخرى له قيمة و اتجاه كالسرعة و القوة و يمثل بحرف و فوقه سهم 

قيمة المتجه (القيمة المطلقة) تعرف بطول المتجه و يمكننا الحصول عليها من الجذر التربيعي لحاصل جمع مربعات مكونات المتجه

حقل القيم المطلقة S(x,y,z)

هو حقل في الفضاء, أي لنتخيل نطاق R في الفضاء x,y,z  بحيث كل نقطة في هذا النطاق لها قيمة قياسية تقابلها, فتكون S(x,y,z) عبارة عن دالة قياسية في ذلك الفضاء (أي S  هي دالة في الموقع x,y,z)

حقل القيم المتجهة V(x,y,z)

فتكون لكل نقطة في الفضاء x,y,z متجه معين و يكون المتجه V  دالة في الفضاء x,y,z و نقول أن الدالة معرفة على ذلك النطاق

الصور التالية توضح حقل قيم مطلقة (توزيع درجة الحرارة) و حقل قيم متجهة (سرعة مثلا) و لكن في فضاء من بعدين x,y  فقط

جبر المتجهات

يتساوى المتجهان إذا تساوا في القيمة و الاتجاه,

و معكوس المتجه تكون له نفس القيمة و عكس الاتجاه و يرمز له ب -a

ناتج حمع متجهين يكون متجه ثالث مكون بوصل نقطة بداية المتجه الأول مع بداية المتجه الثاني و عندما نغلق المثلث يمثل المتجه الثالث حاصل جمع المتجهين (كما في الصورة)

عندما نقوم بضرب متجه بقيمة  مطلقة  S مثلا, تكون النتيجة متجه بنفس اتجاه المتجه الأول و لكن قيمته المطلقة مضروبة في العدد S, نفس الشيء إذا ضربنا في قيمة سالبة و لكن الاتجاه سيصبح الاتجاه المعاكس

متجه الوحدة

هو متجه قيمته المطلقة تساوي واحد, يمكننا الحصول على متجه وحدة يكون بنفس الاتجاه لمتجه V بقسمة هذا المتجه على القيمة المطلقة له

متجهات الوحدة لنظام الإحداثيات الكارتيزي

هي متجهات وحدة تعبر عن المحاور الثلاثة

i متجه الوحدة في اتجاه x

j متجه الوحدة في اتجاه y

k متجه الوحدة في اتجاه z

ضرب المتجهات

الضرب النقطي بالنسبة لمتجهين فإن الناتج يكون عبارة عن قيمة قياسية تعبر عن حاصل ضرب طول المتجهين

الضرب الاتجاهي

الضرب الاتجاهي لمتجهين عبارة عن متجه ثالث عمودي على كلا المتجهين

الصور توضح عمليتي الضرب بشكل أفضل