معادلات حركة الصاروخ (الجزء الأول)

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

كان من المفترض أن أبدأ في الكتابة في هذا الموضوع من قبل, و لكن حدث بعض الكسل مني...

سيكون موضوع هذا المنشور هو الجزء الأول لشرح معادلات حركة الصاروخ..

الهدف من فهم معادلات حركة الصاروخ هو معرفة ديناميكية الصاروخ و العوامل التي تؤثر على حركته و مساره, من أجل تبسيطها و الحصول على نموذج رياضي يمكننا بعمل محاكاة له, و بإمكاننا تصميم نظام للتحكم و التوجيه...

و بدون فهم معادلات حركة الصاروخ لا يمكن تصميم نظام تحكم و لا نظام توجيه له...

أيضا المعادلات التي سوف أشرحها هنا هي المعادلات الغير خطية, و ليست في صيغة فضاء الحالة State space , و لكن يمكن عمل نموذج خطي ابتداء من النموذج الغير خطي و هذه العملية تسمى Linearization .

النموذج الرياضي لحركة الصاروخ يشبه, أو حتى مطابق للنموذج الرياضي لحركة أي جسم صلد Rigid, و حتى نقوم بالحضول على معادلات الحركة للصاروخ يجب أن نبدأ من تعريف نظام الإحداثيات..

بشكل أساسي هناك 3 أنظمة إحداثيات:

1- النظام الأرضي Earth axes و هو يمكن اعتباره نظام إحداثيات ثابت غير متحرك, مركز النظام في مركز الكرة الأرضية

2- نظام إحداثيات الجسم  Body axes و فيه المحاور تقع على الجسم المعني و تدور معه, و مركز النظام في مركز ثقل الجسم

3- نظام إحداثيات الرياح Wind axes و هذه المحاور تقع على الجسم و لكن اتجاهها يكون مع متجه السرعة و ليس الجسم

في الصورة في الأسفل يمكن توضيح الفرق بين نظام إحداثيات الجسم و نظام إحداثيات الأرض

لماذا الحديث عن المحاور؟ 

لأننا سنستخدم قوانين نيوتن لإثبات معادلات حركة الصاروخ, و هذه القوانين تصلح فقط للمحاور الثابتة التي لا تتحرك, فإذا أردنا أن نطبق هذه القوانين على محور جسم الصاروخ يجب الأخد في الاعتبار أن المحور يتحرك و يجب إيجاد العلاقة بينه و بين المحور الثابت (محور الأرض)

و في هذه الصورة توضيح لاتجاه نظام إحداثيات الرياح أيضا... لاحظ الزاوية بين متجه السرعة و بين محور الجسم هي ليست نفس الزاوية بين الجسم و بين خط الأفق.. (اتجاه z للأسفل حتى يكون متناسبا مع قاعدة اليد اليمنى)

محور الرياح يكون مع اتجاه السرعة V

أيضا في الصورة السابقة توضيح لسطح تحكم منحرف بدرجة معينة, و عزم متكون على الصاروخ

هذا لتوضيح أن تغير القوى على الصاروخ ينتج من عوامل عدة أهمها انحراف أسطح التحكم (أيضا قوة دفع المحرك)

لنعد إلى معادلات الحركة للصاروخ...

إذا تخيلنا نظام تحكم بصاروخ بشكل عام, فهناك 4 مكونات أساسية

1- نظام التوجيه

2- نظام الملاحة

3- الطيار الآلي
4- معادلات الحركة للصاروخ

في الصورة المرفقة رسم (غير جيد قمت به بنفسي) يوضح الشكل العام لنظام تحكم بصاروخ و موقع معادلات حركة الصاروخ, 

لأن الصاروخ هو الشيء الذي نريد التحكم فيه يجب أن تكون لدينا معرفة كافية بالنموذج الرياضي له

النظام بشكل أساسي يحتوي على نظام ملاحة Navigation و هو يستشعر حركة الصاروخ و موقع, و نظام توجيه Guidance و هو يقارن بين الموقع الحالي و الموقع المطلوب و يعطي الأمر, و نظام الطيار الآلي Autopilot و هو عبارة عن (إذا صح التعبير) جهاز مهمته تنفيذ الأوامر فقط... نقول له أننا بحاجة إلى زاوية قيمتها كذا و هو يقوم بتقدير الانحراف المطلوب لسطح التحكم, أو غيرها من إشارات التحكم

النموذج الرياضي للصاروخ غير معادلات الحركة يحتوي على:
1- القوى و العزوم الإيروديناميكة
2- التحويلات من نظام إحداثيات لآخر
3- نموذج المحرك
4- نموذج الكتلة للصاروخ (عزم القصور الذاتي)

و مدخلات هذا النموذج هي الحالة الابتدائية للحركة و معها إشارات التحكم (انحراف أسطح التحكم و قوة دفع المحرك), و مخرجاته هي 3 سرعات خطية و 3 سرعات زاوية (لكل محور سرعة خطية و سرعة زاوية), كما في الصورة

cg: مركز ثقل الصاروخ
u,v,w= السرعات الخطية للصاروخ (حول المحاور x,y,z)
P,Q,R= السرعات الزاوية للصاروخ (حول المحاور x,y,z)

تبدأ عملية الحصول على معادلات حركة الصاروخ بقوانين نيوتن للحركة (القانون الثاني) للقوى و للعزوم

و من ثم يتم تطبيق هذه القوانين على محور ثابت (محاور الأرض) و تحويل القوى من محور جسم الصاروخ إلى محاور الأرض (عملية فيها الكثير من الرياضيات و المصفوفات)
سنتطرق إلى شرح بعض من هذه المعادلات في الجزء الثاني, و لكن لنعظي مثالا بسيطا:

في حال وجود نموذج معادلات حركة ل3 درجات حرية (حركة أفقة و حركة رأسية و دوران) , تكون القوى الإيروديناميكية (في نظام إحداثيات الرياح) المؤثرة هي 3 أساسية: الرفع و الكبح و العزم

S: في الغالب مساحة مقطع الصاروخ
D: في الغالب قطر الصاروخ
rho: كثافة الهواء الجوي
V: سرعة الطيران
CL,CD,CM: معادلات الحصول عليها مذكورة في الأسفل
(لمزيد من المعلومات عن ماهية هذه القوى راجع صفحة الديناميكا الهوائية في هذه المدونة)

أما القوى الأخرى فهناك قوة الدفع Thrust في نظام إحداثيات جسم الصاروخ, و هناك قوة الجاذبية في نظام إحداثيات الكرة الأرضية, و يجب جمع كل تلك القوى بعد تحويلها إلى نظام إحداثيات مشترك (في الغالب نظام إحداثيات جسم الصاروخ)
الجزء الصعب هو القوى الإيروديناميكية , خصوصا المعاملات, لأنه للحصول عليها يجب وجود طريقة ما (عملية أو تحليلة أو تحسيبية) , و هذا نموذج (مبسط) للمعاملات الإيروديناميكية في هذه الحالة:

لاحظ أن انحراف الأسطح يظهر في ءاخر جزء من المعادلات الثلاث, و هنا هو الجزء الذي يمكن التحكم فيه, يتغييرنا للجزء الأخير من المعادلة نغير القوى و العزوم على الصاروخ.
و هذا المخطط يوضح ما أقصده

هذا مجرد مدخل للموضوع, و في الجزء الثاني سأشرح معادلات الحركة بمزيد من التفصيل

و إلى أن نلتقي في الجزء الثاني

المراجع

معظم الصور الموجودة في هذا المقال من كتاب Missile Guidance and Control Systems